常见分支

数学从古至今一直广泛应用于各个领域，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。在过去的数千年里，数学在不同国家得到了发展。古埃及人创造了第一个方程，古希腊人在几何和数秘术等方面都做出了贡献。中国数学家早已有了负数的概念，印度首次使用了数字“0”。接着，在波斯伊斯兰教的黄金时期，数学家又迈出了重要的一步，创作了第一部代数学著作。在文艺复兴时期，数学与科学共同繁荣发展。

时至今日，随着社会的不断发展和科技的不断进步，数学逐渐呈现出专业化的趋势。现代数学大体上被分为两个领域：纯数学（主要研究数学本身）和应用数学（主要运用于解决实际问题）。下面将详细介绍这两个重要的分支：

1.纯粹数学是数学的一个分支，专注于数学理论的发展和研究，而不涉及实际应用。它主要关注数学结构、定理和证明，旨在深入理解数学的基本原理和抽象概念。这种数学不仅仅是解决实际问题的工具，更强调逻辑推理和数学严谨性的追求。
概念：

基础数学，又称为纯粹数学，是一门独特的学科领域，其研究对象是数学本身，而非其他实际应用方面。它致力于探究从客观世界中抽象出来的数学规律及其内在联系，并且研究数学本身的规律。纯粹数学与应用数学相对应，与其它一些不同于应用科学的理论学科领域（例如理论物理、理论化学）也有密切关联。由于其严谨、抽象以及美学价值，纯粹数学备受人们推崇。此外，自18世纪以来，纯粹数学已成为数学研究的一个特定分类，又随着探索、天文学、物理学、工程学等领域的发展而逐渐壮大。

基础数学是对数学结构自身内在规律的研究，与解决其他学科实际问题无直接联系。它以对数量关系和空间形式的纯粹形式研究为主。基础数学包含众多分支，例如代数学、数论、几何学、拓扑学、分析学、函数论以及组合数学。

基础数学是数学科学的核心，不仅是其他应用型数学分支的基础，而且为自然科学、技术科学和社会科学提供重要的语言、工具和方法。研究基本类型和过程如何转化为抽象概念陈述，包括解析、代数和几何数学中的抽象概念等，是所有数学系的主要研究方向。微分几何和偏微分方程等也属于基础数学范畴。在这个领域中，出现了众所周知的数学家陈景润证明“1+1=2”和哥德巴赫猜想的故事。

数学的一个分支是纯粹数学研究。

1）代数学（Algebra）是一门研究数学表达式、方程式和多项式的数学分支。它的目标是解决未知量和系数的关系，通过运用数学工具来解决各种问题。在代数学中，字母通常用来表示未知量或参数，其代数运算规则可以帮助求解方程和表达式。该学科广泛应用于科学、工程、金融学和计算机科学等领域，是现代数学不可或缺的一部分。

数学中最关键、基础的部分之一。代数学起源悠久，它随着人类生活水平的提升、生产技术的进步，以及科学与数学自身的需求不断产生和发展。在这个过程中，对代数学的研究对象和研究方法发生了重大的改变。代数学可以分为初等代数和抽象代数两个主要部分。初等代数学是古老算术的推广和发展，抽象代数学则是在此基础上生成和发展的。基础代数是指19世纪上半叶之前的方程理论，主要探讨某个方程（组）是否有解，如何找到方程的所有根（包括近似根）以及这些根的各种性质。在代数出现之前，已经有了算术。算术是用来解决日常生活中各种计算问题的，也就是整数和分数的加减乘除。代数与算术有着明显的区别，其中代数需要引入未知数，并根据问题的条件列出方程式，然后解方程求出未知数的值。

2）数论是研究整数及其性质的一个领域。

数论是纯数学的一个分支，主要研究整数的性质。整数可以作为方程的解，例如丢番图方程。在一些解析函数中，例如黎曼ζ函数，包含了关于整数和质数的性质，通过这些函数可以深入理解数论中的一些问题。此外，数论也可以帮助我们建立实数与有理数之间的关系，并用有理数来逼近实数，这被称为丢番图逼近。根据研究方法的不同，数论大致可以分为初等数论和高等数论。初等数论使用基础方法进行研究，其核心是利用整数的整除性质，主要包括整除理论、同余理论和连分数理论。而高等数论则涉及更复杂的数学工具，包括代数数论、解析数论、计算数论等。

3) 几何学是研究空间形状、大小、相对位置以及其属性和关系的数学学科。

几何学这个词源于希腊语，在希腊语中的原意是土地测量，后来在中国明朝时期被翻译成了"几何学"。根据大量的实证研究，证实是埃及人创造了几何学，它起源于土地测量。几何学是研究形状的科学，以人的视觉和思维为基础，能够培养人们的观察力、空间想象力和洞察力。几何学的发展经历了欧几里得创立的欧氏几何，19世纪上半叶的非欧几何的诞生，射影几何的兴盛，最后达到了几何学的统一。

几何学的分支有很多，其中包括平面几何、立体几何、非欧几何、罗氏几何、黎曼几何、解析几何、射影几何、仿射几何、代数几何、微分几何、计算几何和拓扑学等。

拓扑学是一门研究几何图形或空间在连续形状变化后仍保持不变的学科。它专注于物体之间的位置关系，而不关心它们的具体形状和尺寸。在拓扑学中，重要的性质包括连通性和紧致性。

Topologie 在英文中被称为 Topology，直接翻译是地形学，最初是指研究地形、地貌相似性的学科。 拓扑学是由几何学和集合论发展而来的学科，研究空间、维度和变换等概念。

分析学是数学的一个分支，主要研究函数、序列、极限、连续性和微积分等概念。它涵盖了实数和复数域上的理论，是现代数学中重要且广泛应用的工具之一。分析学的发展可以追溯到17世纪，特别是牛顿和莱布尼兹在微积分方面的贡献对其发展起到了重要作用。

分析学是17世纪以来在微积分学的基础上发展起来的一个重要的数学分支。 它曾经和几何学、代数学一起并列为数学的三大分支，但从18世纪以来逐渐独立发展，得到了很大的进步。曾经有人认为它是数学中一个最大的分支。详细信息可以参考链接：https://www.baike.com/wiki/分析学。

分析是一个数学经典分支的总称，主要以函数为研究对象，采用微积分方法作为基本工具，并且不断发展拓展至现代。

狭义的分析学是指数学分析，它主要包括微分学、积分学、级数论和实数理论。而广义的分析学中，极限概念不仅是微积分的核心，也是许多其他学科重要的思想。微积分是近代数学的基础，从中产生了许多新的数学分支，如微分方程、函数论、变分法、泛函分析等，统称为广义的分析学。

函数论（Function Theory）是数学中一个重要的分支，主要研究复变函数的性质与行为。它涵盖了复数域上的函数，探讨它们的解析性、连续性以及其他重要特征。函数论的发展深刻影响了数学分析、物理学、工程学等多个领域，为解决实际问题提供了重要工具和方法。

函数论是研究实函数和复变函数的总称。实函数论主要研究函数的连续性、可微性和可积性；复变函数论则专注于研究复数变量的解析函数性质。以实数为自变量的函数称为实变函数，研究这类函数的数学分支被称为实变函数论，是微积分学的进一步发展，其基础是点集论。以复数为自变量的函数称为复变函数，与之相关的理论是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要研究复数域上的解析函数，因此也可称为解析函数论。

函数论的主要分支包括：实函数论、单变量复函数论、多变量复函数论、函数逼近论、调和分析、复流形、特殊函数论以及其他相关学科。

6) 排列组合学

离散数学也被称为组合数学。广义的离散数学就是组合数学，狭义的离散数学则除去了图论、代数结构、数理逻辑等方面的内容。然而，这只是学者们在称呼上的不同。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的发展，组合数学的重要性越来越凸显，因为计算机科学的核心是使用算法处理离散数据。狭义的组合数学主要研究满足特定条件的组态（也称为组合模型）的存在、计数和构造等问题。组合数学的主要内容包括组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。

1.3.2 应用数学领域的应用
概念：

数学应用是指明确定义目的的数学理论和方法的总称，它研究如何将数学知识应用到其他领域，特别是科学领域的数学分支。一些学校将其作为数学系中独立的研究方向。

应用数学的发展基于科学思想，将纯数学的结论扩展到其他科学领域。应用数学涵盖多个分支，如概率与统计、计算数学、物理数学、经济和金融数学、运筹优化、控制论等。具体而言，包括微分方程、向量分析、矩阵、拉普拉斯变换、傅里叶变换、复变分析、数值法、概率论、统计学、运筹学、博弈论、控制理论、组合数学、信息论等多个数学分支，也包括各个应用领域中提出的数学问题的研究。应用数学广泛而深入地应用于现今的科学和工程各个领域。

维基百科中的简介：在网络分析中应用图论，在电路分析中应用拓扑学，在结晶学中应用群论，在规范场中应用微分几何，在计算中应用自动控制理论，应用黎曼几何于相对论，应用数理逻辑于计算机，飞机起降时自动控制中应用最小二乘法，利用数字合成计算机辅助的X射线断层成像技术（1979年获得诺贝尔医学奖），密码学中应用数论，经济学中应用博弈论、概率论、统计学，线性规划用于生产安排调度，显示数学在不同领域的应用。

应用数学的两个主要方向包括计算机和经济学。随着计算机的迅速发展，需要大量懂数学的软件工程师来开发相应的数据库。现代经济学需要运用专业的数学来进行分析，因此应用数学与经济学密切相关。应用数学的课程中，有很多以经济学为基础的实例来探讨。与纯数学相比，应用数学最大的区别在于与实际的结合。应用数学致力于解决自然现象和社会发展中提出的数学问题，并将探讨的结果应用到自然界和社会中。

应用数学包括许多研究分支：

计算数学是一门研究数学方法在计算机科学和工程中应用的学科。

计算数学是一门随着计算机的出现而迅猛发展起来的新学科。它涉及到许多交叉学科，如计算物理、计算化学、计算力学、计算材料学、环境科学、地球科学、金融保险等。这门学科利用现代数学理论和方法来解决各种科学与工程问题，分析和提高计算的可靠性、有效性和精确性，以及研究各种数值软件的开发技术。

既重点解决了信息、电子与计算机领域中的一些关键理论技术问题，又着眼于从这些先进技术中提炼出新的数学理论；在保持应用数学与计算数学研究的核心方向的基础上，注重并加强信息科学的数学基础、数据分析与统计计算、科学计算、现代优化、电子系统的数值模拟、生物系统的数学建模等研究。

考生需要具备的专业背景包括基础数学、应用数学、信息技术、计算机科学、数据处理和系统分析，以及工程学和数字图像等学科知识。

研究领域：处理工程问题的数值方法、发展方程与动力系统的数值方法、数字图像的数值逼近。

该领域包含数学问题，如线性代数、微积分、计算机图形学、计算机软件、光学和电磁学。

统计学是一门数学领域，主要研究收集、分析、解释和呈现数据的方法和技术。它涵盖了数据收集的方法论、数据整理和汇总的技术、统计推断（包括假设检验和置信区间）、以及建立和验证统计模型的方法等内容。统计学广泛应用于各个领域，包括科学研究、社会调查、经济分析、医学研究等，是从数据中提取信息、做出推断和决策的重要工具。

统计学是应用数学的一个分支，主要利用概率论建立数学模型，收集观察系统数据，进行量化分析和总结，提出推断和预测，为相关决策提供依据和参考。统计学广泛应用于物理学、社会科学、人文科学以及工商业和政府情报决策等领域。随着数字化进程的加速，人们越来越希望从大量数据中总结经验规律，以便为后续决策提供依据。统计学专业不仅仅涉及统计数字的表达，还包括调查、收集、分析和预测等多个方面，应用范围非常广泛。

统计学分支包括：统计学史，理论统计学，统计调查分析理论，统计核算理论，统计监督理论，统计预测理论，统计逻辑学，统计法学，描述统计学，推断统计学，经济统计学，宏观经济统计学，微观经济统计学，管理统计学，科学技术统计学，农村经济调查，社会统计学，教育统计学，文化与体育统计学，卫生统计学，司法统计学，会福利与社会保障统计学，生活质量统计学，人口统计学，环境与生态统计学，自然资源统计学，环境统计学，生态平衡统计学，国际统计学，国际标准分类统计学，国际核算体系与方法论体系，国际比较统计学。

统计学是一门历史悠久的科学，通常认为其学术研究始于古希腊时代的亚里士多德时期，至今已有超过两千三百年的历史。它最初起源于对社会经济问题的研究。在漫长的发展过程中，统计学经历了许多阶段，包括“城邦政情”、“政治算术”计算机科学"经历了三个发展阶段。所谓的"数理统计"并不是一个独立于统计学的新学科，准确地说，它是统计学在第三个发展阶段所形成的新数据收集和分析方法的一个综合名词。概率论是数理统计方法的理论基础，但它并不属于统计学范畴，而是属于数学的范畴。

概率论是研究随机现象的理论，包括事件发生的可能性、变量之间的关系，以及不确定性的量化等方面。它在统计学、金融、经济学等领域中都有广泛应用。概率论提供了一种分析和解决不确定性问题的工具，能够帮助我们更好地理解和处理随机性对我们生活和工作的影响。

概率论是研究随机现象的数量规律的一门数学分支。所谓随机现象是指相对于决定性现象而言的，即在一定条件下必然会发生某一结果的现象称为决定性现象，比如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾。而随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前不能确定会出现哪种结果，呈现出偶然性，比如掷一次硬币可能出现正面或反面。

实现随机现象并对其进行观察，被称为随机试验。每一种可能结果称为一个基本事件。基本事件构成的单个或多个集合称为随机事件或事件。常见的随机试验有掷骰子、抛硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。概率是测量事件发生可能性的量度。虽然在一次随机试验中某些事件的发生是具有偶然性的，但当在相同条件下进行大量重复的随机试验时，它们通常会呈现出明显的数量规律。

概率论涵盖了几何概率、概率分布、极限理论、随机过程、马尔可夫过程、随机分析、鞅论、应用概率论以及其他相关学科。概率论是研究事件发生可能性的学科，最初与赌博问题有关。在16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究一些掷骰子和其他赌博游戏中的基础问题。概率论和统计学最初主要应用于赌博和人口统计模型中，涉及一些基本概念和简单方法。随着人类社会的发展，人们需要了解各种不确定现象中所蕴含的规律，并运用数学方法研究各种结果出现的可能性大小。因此概率论逐渐形成并逐步发展成为一门严谨的学科。概率论和统计学的方法越来越普遍地渗透到各个领域，广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险乃至人文科学领域。

统计学是一门应用数学的学科，它涉及收集、分析、解释和呈现数据的过程。

统计学是一种通过概率理论研究社会和自然界中大量随机现象数量变化规律的方法。它的研究对象是通过观察和试验收集的数据，利用概率论来理解和解释这些随机现象。统计学首先根据实际数据选择数学模型，并利用数学工具验证模型的适用性。在确定适当的数学模型后，进一步分析和揭示随机现象的特性、规律和本质。数理统计是概率论发展的一个重要分支，其主要任务是有效地收集、整理和分析受随机因素影响的数据，以便对相关问题进行推断和预测，为决策提供科学依据和建议。

数理统计正逐渐广泛深入地应用于自然科学、工程技术、管理科学和人文社会科学。随着科技、政治、经济和社会的发展，数理统计的研究内容也逐渐扩大，但大体可归纳为两类：⑴设计和研究试验，探讨如何更有效合理地获取可观察资料的方法；⑵统计推断，研究如何利用一定的资料来精确可靠地得出所关心问题的结论。当然，这两部分内容密切相关，在实际应用中应前后兼顾。根据我们专业的整体设计，我们的数理统计课程只涉及统计推断的内容。数理统计是一门根据试验或观察数据，研究随机现象统计规律的学科，其基础是概率论。这门课程的目标是使学生掌握统计推断检验等方法，能够运用这些方法对研究对象进行客观规律性的合理估计和判断。学会对整体参数进行点估计和区间估计。学会假设检验的基础知识和技巧。掌握平方差分析和回归分析的原理，并能够应用它们的方法和技巧进行统计推断。

数理统计的核心内容包括：参数估计、假设检验、相关分析、试验设计、非参数统计、过程统计、抽样理论、假设检验、方差分析、相关回归分析、统计推断、贝叶斯统计、试验设计、多元分析、统计判决理论、时间序列分析等。

金融数学是研究与金融相关的数学理论和方法的学科。

金融数学是20世纪80年代末至90年代初兴起的，结合了数学和金融学的跨学科新领域，又称为分析金融学、数理金融学或数学金融学。金融数学主要应用现代数学理论和方法，如随机分析、随机最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计分析、数学规划以及现代计算方法等，来对金融领域（包括投资、债券、基金、股票、期货、期权等金融工具和市场，除银行功能之外）的理论和实践进行定量分析研究。在不确定条件下，最佳投资策略和资产定价理论是其中心问题。套利、最优和均衡是其中三个主要的概念。近20年来，金融数学不仅直接影响了金融工具的创新和金融市场的有效运作，而且在公司投资决策和研究开发项目评估（如实物期权）以及金融机构的风险管理中得到了广泛应用。

在当代金融数学理论中，各种金融经济学模型在其中扮演着核心角色。其中至今仍具有重大影响的成果包括：有效市场理论、证券组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价公式以及资产定价理论等。

6) 数学和物理领域

数学物理是一种以研究物理问题为目标的数学理论和方法。它旨在寻找数学模型以描述物理现象，并研究已建立模型的物理问题的数学解法，进而利用解答来解释和预见物理现象，或修正原有模型。数理或数学物理，既是数学和物理学的交叉领域，也是应用特定的数学方法来研究物理学的部分领域。相应的数学方法被称为数学物理方法。

随着电子计算机的不断发展，许多数学物理问题现在可以通过数值计算加以解决。因此，发展出了计算力学和计算物理这两个学科，它们的作用日益突出。模拟物理模型已成为计算机的重要应用方法。另外，各种渐进方法仍在不断发展壮大。科学的进展显示，数学物理的范畴将变得更加广泛，解决物理问题的能力也会日益增强。化学、生物学、地学和经济学等领域也广泛应用数学模型进行研究。数学物理中的许多技术和成果对相关研究产生了重要影响。在工程学中，需要准确解决物理问题，因此数学物理对技术进步至关重要。另外，数学物理研究对于推进数学领域具有重要的影响。它是产生数学新思想、新对象、新问题以及新方法的一个来源。

1 专业背景

申请者需具备数学或相关专业的本科学历，并且已修读高等微积分、复合变量、微分方程、线性代数、概率论和离散数学等相关数学课程。

2 其他要求
需要留意的是，很多位于美国前20名的大学要求申请学生在提交申请材料时必须同时提供 GRE Subject 数学考试和GRE General的成绩。关于托福和雅思成绩，学校通常有不同的最低要求，具体以各个学校为准。

3.国内就业领域是指国内各行各业为人们提供工作机会的领域。
数学专业的学生在国内的就业选择非常广泛，不仅局限于数学教师一项。他们可以选择从事的领域包括精算师。目前，精算师在国外的平均年薪已经达到10万美元以上，在国内的月薪也已经超过1万元。而且，精算人才的需求持续增长，使得精算师成为金领中的顶级职业之一。精算背景的经理人不仅在保险行业有用武之地，同样在银行、金融、投资以及大型企业中也备受青睐。精算师通常在政府、银行和保险公司等组织中工作。此外，学生还可以考虑成为金融数学家。大部分金融数学家在国际投资银行工作。他们在扮演着极为重要的角色。他们是投资银行和全球性企业中收入较高的一批人。他们从事数量分析、金融产品构建、风险管理和资产管理等工作。在进行国际贸易或商品贸易的公司，例如航空公司、能源公司、大型钢铁公司、矿业公司和国际大公司，同样会面临商品价格波动风险和外汇风险的挑战。他们就聘请了金融数学家来处理这些风险。优秀的管理咨询公司也会聘用金融数学家，为那些没有自己雇佣金融数学家的公司提供服务。目前全球缺少高素质的金融数学家，因此这个专业的就业前景非常乐观。除此之外，毕业生还有可能在银行、证券行业、IT领域，数学专家等领域寻找工作。然而，学生在相关领域需要具备一定的技能。